Wiskunde: les 1 voor reünisten van het Gymnasium Celeanum: over de paradox van Russell, die alles op losse schroeven zette (© Jan Zuidhoek email@janzuidhoek.net)

De grote Engelse wiskundige, logicus, en filosoof Bertrand Russell (1872‑1970), werd al vrij vroeg in zijn leven beroemd door de paradox waarmee hij in 1902 de grote Duitse wiskundige, logicus, en filosoof Gottlob Frege (1848‑1925) confronteerde. Deze paradox van Russell leidde toen onmiddellijk tot de grondslagencrisis van de wiskunde die tot diep in de twintigste eeuw zou voortduren.

Wiskunde gaat niet alleen over wiskundige (abstracte) objecten zoals getallen en punten in de ruimte maar ook over verzamelingen van dergelijke wiskundige objecten, zoals de lege verzameling Ø, die geen elementen bevat, de verzameling van de hoekpunten en die van de zijden van een bepaalde driehoek, die allebei drie elementen bevatten, de oneindige verzameling R van alle reële getallen (e.g. ‑17, 5¾, √2, ℼ ϵ R), de oneindige verzameling Z van de gehele getallen, i.e. Z = {x ϵ R | x is geheel}, de oneindige verzameling Q van de rationale getallen, i.e. Q = {x ϵ R | x is quotient van twee gehele getallen}, de verzameling van de oplossingen van een bepaalde polynoomvergelijking (e.g. de vergelijking 3x2 + 5x ‑ 6 = 0), de oneindige verzameling A van de algebraïsche getallen, i.e. A = {x ϵ R | x is oplossing van een polynoomvergelijking}, de oneindige verzameling van alle punten op een bepaalde cirkel, de oneindige verzameling van alle cirkels in een bepaald vlak. Al die verzamelingen zijn weer wiskundige objecten. Sterker nog, men heeft uiteindelijk vastgesteld dat het voor het opbouwen van de hele wiskunde uitgaande vanuit Ø noodzakelijk is alle wiskundige objecten op enigerlei wijze te interpreteren als verzamelingen, ook al lijkt dit op het eerste gezicht wel wat erg ver gezocht.

De eerste die doorhad dat het begrip verzameling een fundamenteel wiskundig begrip is, was de grote Duitse wiskundige Georg Cantor (1845‑1918). Hij is dan ook (rond 1880) de grondlegger van de verzamelingenleer. Het belang van dit totaal nieuwe deel van de wiskunde vond uiteindelijk algemene erkenning. De grote Duitse wiskundige David Hilbert (1862‑1943) verwoordde dit in 1925 aldus: “Aus dem Paradies das Cantor uns geschaffen hat, soll uns niemand vertreiben können”.

Cantor ontdekte onder veel meer dat er verschillende graden van oneindigheid zijn, bij voorbeeld dat R meer elementen heeft dan Q en dat deze op zijn beurt dezelfde graad van oneindigheid heeft als Z, m.a.w. #(Z) = #(Q) < #(R). Het is niet eens zo heel erg moeilijk om dit te bewijzen. Dat zullen we zien in een volgende les.

Dan nu de paradox van Russell. Ondanks het feit dat het belang van de ontdekkingen van Cantor door vele vooraanstaande wiskundigen van zijn tijd zwaar onderschat werd, en sommige van hen zijn verzamelingenleer zelfs totaal irrelevant vonden, was het rond de negentiende eeuwwisseling onder wiskundigen toch heel normaal geworden om over verzamelingen van wat voor wiskundige objecten dan ook te spreken. Dat ging heel ver, tot de verzameling U van alle wiskundige objecten, het wiskundig universum, aan toe.

Al gauw stelde iemand de vraag: Is U ϵ U waar? Daar lijkt niets op tegen, want U is een wiskundig object. Hoe het ook zij, Russell kwam op de proppen met de verzameling V = {x ϵ U | x  x} en nam aan dat V ϵ U, waar niets op tegen lijkt, omdat V een wiskundig object is. Vervolgens stelde Russell de vraag: is V ϵ V waar? Er zijn slechts twee mogelijkheden: of het is waar of het is niet waar. Als het waar is dan geldt dus dat V ϵ V, maar dan ook dat V  V (volgens de definitie van V), en komen we dus tot een tegenspraak. Maar als het niet waar is dan geldt dus dat V  V, maar dan ook dat V ϵ V (volgens de definitie van V), en komen we dus ook tot een tegenspraak. We zien dus dat we in elk van beide mogelijke gevallen tot een tegenspraak komen.

Verbijstering alom in 1902, want dit was niet leuk meer, maar op dat moment nog een echte tegenspraak die eigenlijk alles op losse schroeven zette. Frege wist er geen mouw aan te passen. Geen wonder, want de jongere generatie van wiskundigen en logici, die, nogal logisch, het er niet bij lieten zitten, deed er wel jaren ja zelfs tientallen jaren over, er waren verschillende stromingen (Poincaré, Zermelo, Russell, Brouwer, Hilbert), om die slag geheel te boven te komen. Zij hebben zich enorm moeten inspannen (o.m. door definities bij te stellen en nieuwe wiskundige begrippen te introduceren) om de paradox van Russell te reduceren tot wat hij behoort te zijn, namelijk een echte paradox, d.w.z. een schijnbare tegenspraak.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Wiskunde: les 2 voor reünisten van het Gymnasium Celeanum: over de aantallen elementen van de oneindige verzamelingen Z, Q, en R (© Jan Zuidhoek email@janzuidhoek.net)

We resumeren even: R is de oneindige verzameling van alle (reële) getallen, Z is de oneindige verzameling van de gehele getallen, i.e. Z = {x ϵ R | x is geheel}, Q is de oneindige verzameling van de rationale getallen, i.e. Q = {x ϵ R | x is quotient van twee gehele getallen}, A is de oneindige verzameling van de algebraïsche getallen, i.e. A =   {x ϵ R | x is oplossing van een polynoomvergelijking}. We merken op dat ⊂ ⊂ ⊂ R.

In deze les laten we zien hoe Cantor bewees dat #(Z) = #(Q) < #(R) (m.a.w. er zijn evenveel rationale getallen als gehele maar meer reële dan rationale). We zullen eerst bewijzen dat #(Q) = #(Z) (voor het eerst bewezen door Cantor in 1873), daarna dat #(Q) < #(R) (idem in 1874).

Om te beginnen stellen we vast dat de elementen van de oneindige verzameling Z+ = {x ϵ Z | x > 0} op een rij kunnen worden gezet, b.v. 1, 2, 3, 4, ……, en vervolgens dat dit ook geldt voor Z zelf, b.v. 0, -1, 1, -2, 2, -3, 3, ……. Conclusie: #(Z) = #(Z+).

We zien dus dat niet alleen Z+ maar ook Z zelf aftelbaar oneindig is. Omdat we willen bewijzen dat #(Q) = #(Z), mogen we ons afvragen of de oneindige verzameling Q+ = {x ϵ Q | x > 0} aftelbaar oneindig is. Laten we dan eerst eens kijken of we de elementen van de oneindige verzameling Q+1 = {x ϵ Q+ | 0 < x ≤ 1} op een rij kunnen zetten. Dit blijkt aldus te kunnen: 1, ½, 1/3, 2/3, ¼, ¾, 1/5, 2/5, 3/5, 4/5, 1/6, 5/6, 1/7, 2/7, 3/7, 4/7, 5/7, 6/7, 1/8, 3/8, 5/8, 7/8, ……. Gemakshalve noteren wij deze rij getallen aldus: a11, a12, a13, a14, ……. Op dezelfde wijze kunnen de elementen van de oneindige verzameling Q+2 = {x ϵ Q+ | 1 < x ≤ 2} op een rij a21, a22, a23, a24, …… gezet worden, zo ook de elementen van de oneindige verzameling Q+3 = {x ϵ Q+ | 2 < x ≤ 3} op een rij a31, a32, a33, a34, ……, zo ook de elementen van de oneindige verzameling Q+4 = {x ϵ Q+ | 3 < x ≤ 4} op een rij a41, a42, a43, a44, ……, enzovoort. Omdat Q+ juist de vereniging is van haar disjuncte deelverzamelingen Q+1, Q+2, Q+3, Q+4, …… impliceert dit dat de elementen van Q+ op een rij gezet kunnen worden, b.v. a11, a12, a21, a13, a22, a31, a14, a23, a32, a41, a15, a24, a33, a42, a51, a16, a25, a34,  a43, a52, a61, …… (controleer thuis dat op deze wijze uiteindelijk alle positieve rationale getallen aan de beurt komen), en vervolgens dat dit ook geldt voor Q zelf, b.v. 0, -a11, a11, -a12, a12, -a21, a21, ‑a13, a13, -a22, a22, -a31, a31, -a14, a14, -a23, a23, -a32, a32, -a41, a41, -a15, a15, -a24, a24, -a33, a33, -a42, a42, -a51, a51, -a16, a16, ‑a25, a25, -a34, a34, -a43, a43, -a52, a52, -a61, a61, …… (idem alle rationale getallen). Conclusie: #(Q) = #(Z+) = #(Z).

Nu willen we, zoals beloofd, nog bewijzen dat #(Q) < #(R). Omdat Q een deelverzameling is van R geldt: of #(Q) = #(R) of #(Q) < #(R). We zullen nu laten zien dat het eerste niet waar kan zijn. Als dit namelijk waar zou zijn, dan zou ook gelden dat #(R) = #(Z+), dan zouden de reële getallen op een rij gezet kunnen worden, dan zouden in het bijzonder de elementen van de verzameling W = {x ϵ R | 0 < x < 1} op een rij gezet kunnen worden, en dan zouden in het bijzonder de elementen van W die alleen nullen en enen achter de komma hebben (zoals 0,01011011101111……), op een rij gezet kunnen worden:

x1 = 0,b11b12b13b14……, 

x2 = 0,b21b22b23b24……,

x3 = 0,b31b32b33b34……,

x4 = 0,b41b42b43b44……,

…….

Dit leidt tot een tegenspraak, want het getal 0,c1c2c3c4…… gedefinieerd door [ci = 1 als bii = 0 maar ci = 0 als bii = 1] is een element van W dat alleen nullen en enen achter de komma heeft maar niet in de rij x1, x2, x3, x4, …… voorkomt. Blijkbaar is #(Q) = #(R) niet waar. Conclusie: #(Q) < #(R). We zien in dat zelfs geldt: #(Q) < #(W). Dat #(W) = #(R) kan onder meer fraai geïllustreerd worden aan de hand van de grafiek van de arctangensfunctie.

We weten nu dat #(Q) < #(R), maar constateren tevens dat we nog geen deelverzameling D van R zijn tegengekomen die voldoet aan #(Q) < #(D) < #(R). Welnu, het zal niet meevallen er zo een te vinden. Sterker nog, zelfs Cantor slaagde er niet in er zo een te vinden (zelfs de oneindige verzameling A van de algebraïsche getallen bleek aftelbaar oneindig te zijn), en omdat hij zich niet kon voorstellen dat iemand anders daarin wel zou kunnen slagen, nam hij maar aan (in 1877), dat zo een deelverzameling van R gewoon niet bestaat. Deze tot nu toe nog door niemand bekritiseerde aanname wordt de continuümhypothese genoemd. Niemand kon deze befaamde hypothese bewijzen. Wel slaagde de grote Oostenrijkse wiskundige Kurt Gödel erin (in 1940), uitgaande van onomsteden logische principes, te bewijzen dat het onmogelijk is deze hypothese te weerleggen, maar het was de Amerikaanse wiskundige Paul Cohen die er in slaagde (in 1963) te bewijzen dat het evenmin mogelijk is deze te bewijzen.